和动态一般规律的学科，动态指系统的行为随时间而变化的现象，常用一些适当的作为时间函数的变量来描述。

研究系统控制早期的控制理论多是研究单输入、单输出的线路系统，关心的问题主要是稳定性、响应速度、频率特性等问题。20世纪50年代末以后，注意力转向多输入、多输出系统（线性的或非线性的）的研究，理论上取得很大进展，这些成果称为现代控制理论，而将早期的理论称为古典控制理论。现代控制理论还可用来描述一般复杂系统，为系统理论提供理论基础。

控制理论不直接研究现实的具体系统，而是用数学方法讨论几类典型系统的模型。因此，应用控制理论的结果不受系统物理特性的局限。

其基本方法是所谓外描述方法。即从系统的输入u（t）和输出y（t）的关系来描述系统的性质和作用，而不考虑系统的内部状态，所以又称为黑箱方法（图1）。把系统的作用看作一种变换，即系统将u（t）变换为y（t）。一般情况下，很难用简单方法表示这两个时间函数间的变换。在控制工程中多以拉普拉斯变换（简称拉氏变换）为媒介，求出一种称为传递函数的复变函数，以它作为系统的模型来表示系统。此法适用于线性系统，尤其适合单输入、单输出情形。拉氏变换及其逆变换是一种积分变换：

控制理论

式中 f（t）为满足某些条件的连续时间函数（一般工程问题中遇到的连续时间函数多能满足这些条件），S＝σ＋iω，是复变量，σ、ω为其实部和虚部。对于上述第二式，要求σ为大于F（s）之任何奇点的实数。利用拉氏变换的一些性质，可把解微分方程的过程化为代数运算，且有常用函数变换表，便于应用。

图1 外描述和传递函数的导出

传递函数

令Y（s）＝￡〔y（t）〕，U（s）＝￡〔u（t）〕，设其中有关的初值为零，以下式定义传递函数G（s）：

控制理论

即有Y（s）＝G（s）U（s）。许多控制课题都包含这样的问题：已知G（s）和u（t）时求y（t），称为求系统对输入的响应。古典控制理论解此类问题的方法是先由u（t）的拉氏变换求出U（s），再由上式求出Y（s），最后经逆变换求得y（t）＝￡^-1〔Y（s）〕。

过渡（暂态）响应和稳态响应

输出y（t）一般是随时间而趋于零的和趋于常数（或某个函数）的两部分函数之和，前者称为过渡响应，后者称为稳态响应。在实际问题中，后者是我们预期的。一般希望过渡时间短，称为速应性。但不能过快，否则带来其他损害。因系统可能承受的输入随具体情况而异，其响应也各异，难于一一讨论。所以，实用中常讨论几种典型的简单输入函数作用下的响应。常用的U（t）函数有单位冲量函数σ（t）、单位阶跃函数l（t）和单位斜坡函数t。其中，σ（t）函数的响应称为单位冲量响应，记做g（t）。可以证明g（t）＝L^-1〔G（s）〕，所以它也被看作系统的模型。而且，传递函数为G（s）的系统对于任意输入u（t）的响应y（t）可由下式给出：

控制理论

式中*号表示卷积。

框图

较复杂系统常由若干子系统构成，其间的关系和结构可用框图表示，即以方框代表各子系统（它们本身则以各自的传递函数表示），以箭头表示其间以及它们与环境的输入和输出函数。框图的基本形式有串联、并联和反馈。系统则是这三种形式的组合（图2）。图中以小圆圈表示求代数和。容易证明上述三种复合系统（各含二子系统）的传递函数为：①串联G₁（s）G₂（s），②并联G₁（s）＋G₂（s），③反馈G₁（s）/〔1＋G₁（s）G₂（s）〕。多次应用类似推导可根据框图求出任何复合系统的传递函数，从而求出其响应。

频率响应

正弦函数输入时系统的稳态响应。设u（t）＝Asinωt，A为振幅（常数），ω为角频率。系统的稳态响应为M（ω）Asin〔ωt＋ψ（ω）〕。M（ω）为ω的函数，是振幅放大倍数，ψ（ω）也是ω的函数，是位相差。M、Φ与ω的关系可以方便地用奈奎斯特（Nyquist）图或波特（Bode）图表示。由这些图得到一重要结论：惯性系统的频率响应都具有低通性质，即ω高于某一频率（称为截止频率）时M（ω）将很小，即输出信号微弱到可以忽略。M、ψ对于控制系统的设计很重要。

稳定性

系统抗干扰的能力。严密地说，有几种不同意义的稳定性，这里仅述渐近稳定性。即设系统原来处于某个稳态或平衡状态（即无干扰时可以长久保持的状态），但因受外界的瞬时干扰而偏离此态。其后如系统能在t→∞时趋于原来的平衡态，则称系统是渐近稳定的。渐近稳定性是一个由系统本身决定的性质，不依赖于输入，它依赖于系统的特征方程的根。设系统可用一微分方程描述，其相应的特征方程的根如全具有负的实部，则系统稳定，特征方程（代数方程）的次数称为系统的阶，可表示系统行为的多样性。控制、调节的重要目的之一是增进、改善系统稳定性。

图2 框图的三种基本形式

其基本方法是所谓内描述方法。即以状态变量（一般是向量）描述系统的内部并以状态方程表示状态变化与现在状态及输入的关系，同时以输出方程表示输出与状态、输入的关系。令X（t）＝〔X₁（t），X₂（t），…，Xn（t）〕^T为状态向量，其每一分量表示系统内部的一个特征。例如，令X_i（t）表示一生物种群在时刻t的i龄生物个体数，则X（t）表示此种群各龄生物的一种状态（见生态学模型）。显然，诸分量X_i（t）应互相独立，而分量的总数n应足够确定系统的状态。令U（t）＝〔u₁（t），u2（t），…，u_m（t）〕^T为输入向量，Y（t）＝〔y₁（t），y₂（t），…，y_r（t）〕^T为输出向量，则有：

状态方程 X（t）＝AX（t）＋BU（t），X（0）＝X₀

输出方程 Y（t）＝CX（t）＋DU（t）

式中 A、B、C、D为具有相应阶的矩阵。如它们都是常数元素的矩阵，则上式描写的是线性定常（或称非时变）系统，如这些阵的元素是时间函数，则为时变线性系统。非线性系统的状态方程之右端为X、U的非线性函数。A称为系统阵，描述系统的结构，由状态方程可看出：多输入、多输出系统的各状态分量之间常是交互影响的，输入向量的每一分量可能对各状态分量都发生作用，而输出向量的各分量则可能由几个状态分量决定。

状态方程的解

上述描述的非时变系统由下式给出其解：

控制理论

式中 e^At称为状态转移矩阵，其计算有数种方法，例如：①按上式计算；②拉氏变换法；③矩阵对角化方法等。时变系统解的形式与上述解相同，但其状态转移矩阵的求法较繁。

上述各式皆属于连续时间情形，即各变量为时间的连续函数。在生物、生态、经济问题中多用离散时间形式描述。此时状态方程取差分方程形式：

X(k＋1)＝AX(k)＋BU(k),

X(0)＝X₀,k＝0,1,2,…

Y(k)＝CX(k)＋DU(k)

对于时不变情形，其解为：

控制理论

以X（k）或X（t）代入输出方程可求出Y（k）或Y（t）。

能控性和能观性

现代控制理论的重要概念，也是多输入、多输出系统的特殊问题。就线性连续时不变系统而言，如果存在一控制U（t）能在有限时间内把系统从其初态X₀变到任意终态X（t_f），t_f表示终止时刻，则称此系统是能控的。如对于任意的初态，系统皆有此性质，则它是完全能控的。能控性不决定于控制向量，而决定于系统本身。能观性则表示用输出Y（t）推测状态X（t）的能力，如果根据有限时间内对Y（t）的观测能确定系统的初态则称系统是能观的。如果对于任意初态，系统皆有此性质，则称系统是完全能观的。显然，此性质也仅由系统本身决定。设状态变量是n维的向量，则有以下条件：

完全能控性充要条件

rank〔B AB A²B…A^n-1B〕＝n

完全能观性充要条件

控制理论

式中 rank表示分块矩阵的秩。

线性确定性离散系统的这两个条件与上式形式相同。

状态反馈和观测器

图2所示的反馈是将输出信号反馈到输入端，称为输出反馈。这种反馈不完善，因输出一般只反映了一部分状态分量的信息。理想的方法是状态反馈，即把各状态分量的信号都反馈到输入端。反馈的目的是改进性能和保证系统稳定。但这在实践上常难于实现，很多系统的内部难于接近和进行测量。所以用观测器根据U（t）和Y（t）信号对X（t）进行估计，以其估计值（t）代替X（t）进行反馈。

就理论而言，实现观测的条件是系统完全能观。在实际构造观测器中，重要的是求出适当的反馈阵，以使（-X）和（-Y）随时间趋于零。

最优控制

允许控制集合的一个控制函数U^*（t），它驱使状态在状态空间内沿“最优”的轨道X^*变化而达到使给定的性能指标取最优值的目的。其求解之难度因性能指标的形式和约束条件而异。常用的方法有：①动态规划法（见数学规划）。②变分法。后者是将这个有约束优化问题化为无约束优化问题后求解。其步骤如下：设指标泛函（X₁，，t）dt，此处L表示线性函数。系统的状态方程为＝f（X，U，t），引入辅助变量λ^T＝〔λ₁，λ₂，…，λ_n〕并用它构造新的被积函数及新的泛函dt，此处t₀、t_f分别表示过程的初始及终止时刻。由求V的无约束极值得出如下的使J取极值的条件：

欧拉方程

控制理论

横截条件

控制理论

③最大（小）值原理由庞特里亚金（Л.С.Понмряшн）提出，因问题是求性能指标极大或极小而称为最大或最小值原理。应用时先应引入协状态（costate）变量P^T＝〔P₁，P₂，…，P_n〕及建立哈密顿函数（X，U，P，t）L（X，U，t）＋P^Tf（X.U，t）。下面用*号表示最优，则U^*应满足控制方程：

控制理论

而最大值或最小值原理可表述为：

控制理论

稳定性和平衡态

对于状态方程为＝f（X，U）的系统，满足＝0的状态叫做该系统的平衡态。复杂的系统可能有多个平衡态。而对于线性时不变系统＝AX，如A非奇异则只有一个平衡态。在现代控制理论中稳定性包括一致稳定，渐近稳定，大范围渐近稳定和输入—输出稳定等不同概念。对于非线性系统，李雅普诺夫定理可用于研究稳定性。李雅普诺夫函数方法以及将非线性微分方程在平衡态附近做泰勒展开并用其线性项近似地讨论其稳定性的方法皆有应用。

最优随机控制

当存在随机干扰时线性非时变系统的模型是：

控制理论

式中 V为随机干扰向量，一般假设它是高斯白噪声，·W为测量误差向量。最优随机控制是在上述状态方程及其他条件的约束下，求使某性能指标最优的控制向量。但因有随机干扰，所以性能指标函数J应取数学期望的形式，例如：

控制理论

式中 Q为非负定阵，R为正定对称阵，它们表示对各有关分量的权。此时其最优控制由下式给出：

U^*(t)＝-R^-1B^TP(t)X(t)

式中 P（t）是下面黎卡提方程的解：

控制理论

此随机最优控制是以状态反馈形式给出的。如系统不完全能观，则应根据输出观测数据对状态做最优估计（由卡尔曼滤波给出），然后以此估计代替U^*表达式中的X（t）。这叫做分离定理。