利用最小二乘原理来控制误差和估计参数的一种统计方法。它常用于回归分析和解决次级样本含量不等资料的统计分析。次级组含量不等资料的最小二乘分析法，亦称拟合参数法或安配常数法。

通常与常规方差分析结果和结论相同，实用意义不大。但是它可显示最小二乘分析的基本原理。

数学模型

最小二乘分析

（i＝1，2，…，户，j＝1，2，…，n_i）

式中 y_ij为因素A第i个水平的第j个观测值。a_i为因素A第i个水平的效应值。ε_ij是独立的随机误差，且服从N（0，），μ为总体均数。

模型右边的每一项（除误差项）都是总体的参数，通过分析所得的参数均在字母上加“^”符号以表示为估计值，即是μ的估计值，是a_i的估计值。

效应的最小二乘估计

利用最小二乘原理按资料和模型建立估计次级组各效应参数的正规方程组：

最小二乘分析

求解的过程要求：①加约束条件建立降阶方程组；②求逆矩阵及参数估计值；③求各水平的最小二乘均数（LSM，least squrae mean）及其标准误。显著性检验可用F检验或t检验或邓肯式多重检验。

两因素交叉分组含量不等资料（元交互作用）的最小二乘分析 资料的模式见表1。

数学模型

最小二乘分析

(i＝1,2,…,p,j＝1,2,…,q,k＝1,2,…,n_ij)

式中 y_ijk为A因素第i水平和B因素第j水平的第k次观察值；μ为总体均数，a_i为A因素第i水平的效应值；b_j为B因素第j水平的效应值；ε_ijk为随机误差，假定它们独立并服从正态分布N（0，。

两因素资料的数学模型可分三种，当两个因素的效应均为固定时，称为固定模型；当两个因素的效应均为随机时，则称为随机模型；当一个因素的效应为固定，另一个因素的效应为随机时，则称为混合模型。固定模型的估计方法见最佳线性无偏预测。

效应的最小二乘估计

（1）建立正规方程组。利用最小二乘原理，按资料和模型可得效应的最小二乘正规方程组，以表格形式表示：

最小二乘分析

方程组（4）的特点：①μ方程中的系数等于的系数之和，也等于的系数之和；②a_i方程中，的系数之和等于的系数；b_j方程中，的系数之和等于的系数；③各方程右端数之和等于各b_j方程右端数之和，并都等于μ方程右端数y…；④方程组的系数依主对角线为轴左右对称。

（2）加约束条件，建立降阶方程组。正规方程组（4）有p＋q＋1个方程，其系数矩阵的秩为户＋q－1。为使方程组有唯一解，需加两个约束条件：

最小二乘分析

和

最小二乘分析

仿同单因素分组资料最小二乘分析法，将式（5）、式（6）代入方程组（4）进行变换，消去，方程及，列，使方程组变换为降阶方程组。

（3）求逆矩阵及参数估计值。对降阶方程组的增广矩阵求逆求解，得逆矩阵和参数估计值。

（4）求最小二乘均数。A、B因素各水平的最小二乘均数分别为：

最小二乘分析

表1 两因素交叉分组资料的模式表

A、B水平组合的最小二乘均数为：

最小二乘分析

与算术平均数方法相比，最小二乘均数能在样本含量不等的影响下，能更确切地说明各因素水平效应和互作效应的平均水平。

显著性检验

（1）参数的方差分析

设H₀₁ a₁＝a₂＝…＝a_p或

b₁＝b₂＝…＝b_q或

最小二乘分析

或由降阶矩阵计算：

最小二乘分析

则

最小二乘分析

则

最小二乘分析

最小二乘分析

∴ A、B的统计量F为：

最小二乘分析

查方差分析用F界值表，按所给显著水准α，确定所得F的概率（户值），作出推断结论。

当不了解两因素间有无交互作用时，可用下述方法检验其显著性。

记

最小二乘分析

则

最小二乘分析

最小二乘分析

这时

最小二乘分析

df′_E＝n..－pq

A×B的统计量F为

最小二乘分析

查F界值表，按所给显著水准α，确定所给F的概率（P值），作出推断结论。

（2）参数的比较：，…，间的多重比较，一般采用kramer修改的邓肯氏（Duncan）的SSR法。

资料的模型表同表1。数学模型为：

最小二乘分析

(i＝1,2,…,p,j＝1,2,…,q,k＝1,2,…,n_ij)

式中（ab）_ij表示A因素第i水平与B因素第j水平的交互作用效应，其他符号含义与无交互作用模型相同。

效应的最小二乘估计

（1）最小二乘正规方程组。按表1及模型（23）可得效应的最小二乘正规方程组，以表格形式表示（表2）。

这个方程组包括：1个μ方程，p个A因素各水平的方程，q个B因素各水平的方程及户×q个A和B交互作用的方程。

（2）加约束条件求降阶方程组。正规方程组（24）有1＋户＋q＋户×q个方程，其系数矩阵的秩为1＋（户－1）＋（q－1）＋（户－1）（q－1）＝pq。为使方程组有唯一解，需加户＋q＋1个约束条件：

最小二乘分析

最小二乘分析

仿前将约束条件加入方程组（27）进行变换。在a_i和b_j方程内进行的方法与两因素无交互作用模型的最小二乘分析法相同。（ab）_ij的系数＝（ab）_ij系数－（ab）_iq系数－（ab）_pj系数＋（ab）_pq系数。于是消去（ab）_iq（ab）_pj及（ab）_pq各列。同样，对已改变了的（ab）_ij方程，亦如列变换一样，进行行变换，消去（ab）_iq，（ab）_pj及（ab）_pq方程。降阶的右端数y′_ij.＝yi_j.－y_iq.－y_pj.－y_pq.。所得降阶方程组（略）亦为正规方程组。

（3）求逆矩阵及参数估计值。由降阶方程组的系数矩阵和右端数向量组成的增广矩阵求逆求解，得逆矩阵及参数估计值。

（4）求最小二乘均数（LSM）及标准误。

最小二乘分析

A、B两因素各水平的LSM及标准误：

最小二乘分析

A、B水平组合的LSM及标准误：

最小二乘分析

这里，C代表逆矩阵元素，为便于识别，特将方程号定为上角标，参数号定为下角标，0为μ的标号。

当次级组都有数值时，上述标准误可直接从下式求之：

最小二乘分析

两次级组均数间差异的标准误为：

最小二乘分析

显著性检验

①参数的方差分析

设 H₀：0，0，

记

最小二乘分析

或

最小二乘分析

表2 最小二乘正规方程组

最小二乘分析

各效应的平方和可利用逆矩阵元素由下列各式直接求之：

最小二乘分析

式中，，为逆矩阵中相应于，及（ab）_ij的子块（，，）的逆矩阵。

各效应相应的自由度分别为：df_A＝p^-1，df_B＝q^-1，df_A×B＝（户^-1）（q^-1）。

于是各效应相应的统计量F分别为：

最小二乘分析

查方差分析用F界值表，按所给显著水准α，确定所得F值的概率（P值），作出推断结论。

②参数的比较

对A、B两因素各水平的多重比较仍可用邓肯氏的SSR检验法，其方法和步骤同前。