反映自变量与依变此结构称为线性统计模型，简称线性模型。其中，Y为一随机变量（依变量）的n次观察值构成的n维向量。X为设计矩阵，由户个变量x₁，x₂，…，x_p（自变量）的n次观察值构成的n×p维向量，β为未知参数向量，e为随机误差向量，通常假设各观测值是相互独立且是同分布的，即e～N（0，σ²I），这里R＝σ²I，而σ²也可是未知的，这时它也是模型的未知参数，称为误差方差，此模型称为正态线性模型。

线性模型

一般线性模型有很多不同形式，主要可从以下三个方面分类：①按自变量数目可分为单因子、二因子和多因子模型等；②按自变量性质可分为固定、随机和混合模型等；③按模型功能可分为线性回归、方差分析、协方差分析和方差组分模型等。这些分类只是从一个模型的不同角度考虑来划分的。

当模型为包含一组固定效应和一组随机效应的混合模型时：Y＝Xb＋Zu＋e。这里，b是未知的所有固定效应的户×1维向量，u是未知的除随机误差外的所有随机效应的q×1维向量；X、Z是由观测资料确定的与固定效应和随机效应相联系的设计矩阵，其他的与上模型相同。对此模型可利用观测值的一个线性函数（L′Y）对固定效应b和随机效应u的任意线性可估函数（K′b＋M′u）进行估计和预测，并满足预测无偏性和预测误差方差最小两个条件，由此得出如下的正规最佳线性无偏预测（BLUP）方程：

线性模型

式中 A为随机效应方差协方差矩阵；R为随机误差方差和协方差矩阵。

在畜牧业中线性模型常用于研究变量的相关和回归、拟合线性回归方程、对各种影响因素进行方差及协方差分析。特别是在动物遗传育种中，线性模型常用于遗传参数估计、育种值的BLUP估计等。近二十年来对线性模型理论和应用方法的研究取得了许多重要进展，已越来越成为一种重要的研究工具。

（陈瑶生）

对于正态线性模型，若Y的线性函数满足Q＝，则称为β的最小二乘估计量，由此得到，即为最小二乘正规方程组。当系数矩阵X′X满秩时得到的唯一解，即＝（X′X）^-1X′Y。该估计量有以下三个特性：1）为Y的线性组合；2）是β的线性无偏估计量；3）为β的最佳线性无偏估计量。因此，最小二乘估计可提供一个最佳线性无偏估计量（BLUE）。

量间线性关系的数学表达式。设随机变量为Y，可表示为